乘法结合律用字母表示(一课研究之《乘法交换律和结合律》)

1.向你介绍我是谁

     大家好!

我是徐志浩,来自宁波市镇海区艺术实验小学,是朱乐平名师工作站“一课研究”第五小组成员,很高兴在这里与您相遇。

2.本期内容有哪些

听一听:《数学多元表征学习的理论与实践》节选

读一读:《乘法交换律和结合律》实践探究

看一看: 运算定律思维导图

3.轻轻松松听听书

数学多元表征学习的理论与实践来自一课研究06:05

《数学多元表征学习的理论与实践》节选

4.坚持阅读8分钟

一、教材解读

       以人教版为例,《乘法运算定律》单元主题图为植树活动,根据图文进行问题解决,在解决过程中发现规律并进行归纳、验证、应用。

        当前,很多一线教师把数学课堂聚焦于学生数学核心素养发展,但基于教材本身,如何让学生数学核心素养在课堂中生根发芽?以多元表征为突破口,促使学生数学核心素养的发展,让学生在数学的道路上走得更远。现以人教版《乘法交换律和结合律》一课教学为例进行探究实践。

二、实践探究

     表征方式维度:根据多元表征分类方法,把多元表征主要分为情境表征、动作表征、图像表征、言语表征和符号表针。(节选自《数学多元表征学习理论与实践》)

教学片断:

(一)乘法交换律

1、出示图形

师:仔细观察,这幅图中一共有几个小正方体?你是怎么想的?

生:一行有5个,共有4行。5×4=20个。

师:他是这样观察的(手势笔画),还可以怎么观察呢?可以用哪个算式表示?

生:一列有4个,共5列。4×5=20个

师:同学们真厉害,能从不同的角度去观察、发现问题。

2、观察发现

师:那这两个乘法算式有什么相同点和不同点呢?

生1:数字都是一样的

生2:得数也是一样的

生3:两个因数的位置不同

师:既然得数相同,那这两个乘法算式可以用等号符号连接(板书:5×4=4×5)

3、创造等式

师:你能不能也写几个这样的等式呢?请写在练习纸上,并用图形表示。完成后和你的同桌互相说一说你的等式及图形。

生1:5×7=7×5,我画的是一行7个,有5行。

生2:6×8=8×6,我画的是一行8个,有6行。也可以说一列6个,有8列。……

师:全班那么多同学都举出了这样的等式,真厉害。这样的等式还有很多很多,可以用省略号表示。只要是这样的等式,都可以用同一幅图进行

表示。

4、归纳规律

师:仔细观察这些等式,你发现了什么?把你的发现和同桌交流一下。

生1:两个因数交换位置,积不变。

生2:交换两个因数位置,积不变。

师:哪些同学也有同样的发现,请举手。老师把你们的发现记录下来。(交换两个因数位置,积不变。)

6、符号表示

师:刚才同学们举了那么多不同的例子,发现了同样的规律。那你能用自己喜欢的方法简洁地把这个规律写出来吗?请写在练习纸上。

文字:能给同学们解释一下你的作品吗?(甲表示什么?乙表示什么?)

符号:谁能看明白这位同学的作品?(正方形表示什么?五角星表示什么?)

字母:能看明白吗?

师:这几种表示方法你比较喜欢哪一种呢?

5、小结定律

师:刚才同学们用文字、符号、字母表示出了乘法的这种规律。不管用什么表示,第一个表示的都是一个因数,第二个表示的都是另一个因数。交换两个因数的位置,积不变。这种规律数学上称为乘法交换律,一般可以用a*b=b*a来表示。

        通过最直观的长方体进行引入,从图像、动作、言语、符号几个不同维度对乘法交换律进行表征,不断优化呈现方式,让学生看得懂,进行初步感知。与以往的教学比较,内容相同,但呈现方式不同,给学生的感觉也不一样。在学生的自我验证及归纳过程中,将不同的几种表征方式进行融通,学生学到的不仅仅是关于乘法交换律的数学知识,更在潜移默化中学会如何用不同的方式去表达对乘法交换律的意义理解。

教学片断:

(二)乘法结合律

1、出示图形

师:请看大屏幕,现在请同学们静静地想一想,这幅图中共有多少个小正方体呢?请把算式列在练习纸上。

生1:5×4×3=60,先算一层,有三层。

生2:5×3×4=60,先算最前面有15个正方体,像这样的有4层。

生3:先算一列4×3,有5列就乘5。

师:你能在这个式子中把你的想法表示出来吗?

生:5×(4×3)=60

师:其实我们在解决同一个问题可以从不同的角度出发,选择不同的方法去解决,多动脑多思考才会有创造。

2、自主探究

师:现在请大家比较这两个算式,看看有什么相同点和不同点呢?

生1:因数是一样的

生2:得数也相同

生3:数的位置也相同

生4:括号所在的位置不同。……

师:同学们真善于观察。

师:从积相同,我们可以判定这两个算式也相等(5×4)×3=5×(4×3)。请同学们一起来读一读。

师:读得真不错,那在这个等式中是不是也存在着一定的规律呢?

接下来让我们一起来研究研究。你们打算怎么研究?——举例子验证一下

师:请同学们先看大屏幕,以这样的形式,把刚才的3个数换成另外3个数。可以是2、3、4。位置不变,数也没变。算出的积都是24。2个等式相等,就可以把这2个算式用=相连。(2×3)×4=2×(3×4)。然后再照样子举几个例子,看看有什么规律,并把规律记录下来。

师:明白了吗?以四人小组为单位,开始吧。

汇报:先让学生说。

(1)先来看一下这个小组的研究结果

(2)来看看这个小组的,他们举得例子对吗?你来说一说你们组的结论。

(3)这样的例子举得完吗?

(每次汇报中让学生想像这个长(正)方体的模型,软件验证)

师:刚才同学们说得意思都差不多,老师把它给记录下来:先乘前两个数,或者先乘后两个数,积不变。乘法中这样的规律叫什么呢?(板书:乘法结合律)

师:如果用字母a\b\c该怎么表示这个规律呢?

生:(a×b)×c=a×(b×c)

        在乘法交换律的探究过程中,学生对各种表征有了一定的理解。在乘法结合律的学习中,让学生尝试探索性尝试应用,不仅可以反映学生对乘法结合律的理解,还可以反映学生对各种表征的理解及综合应用。学生在写一写、说一说、想一想等活动中自然学会用动作、图像、符号、文字表达对乘法结合律的理解,在头脑中形成多元表征方式,为学生以后灵活提取和应用相关知识,实现多元智能个性化发展做好基础性工作。

     表征水平维度:根据华东师范大学数学系教授姜慧慧、鲍建生的分类,把多元表征根据认知水平从低到高分为再现水平、关联水平和反思水平。(节选自《数学多元表征学习理论与实践》)

教学片断:

(三)巩固提升

    本题为基本练习,促使学生在学习后能直接地利用符号形式对乘法交换律和结合律进行表征的判断和转换。在学生判断后进行追问:“你是怎样判断的?”通过这样的问题,让学生将其转换成文字或图像,通过这样的表征形式转换,达到“在现水平”。

    本题为变式练习,促使学生在基本练习后得到进一步的提升。作为变式练习,恰好符合“关联水平”中所提到的:在非常规但含有某些熟悉信息的问题情境中,能够清楚地区别和转换两个以上不同的表征形式。如对某种表征进行调整,或者自主选择使用某种较为熟悉的表征形式。在学生进行选择后进行追问:“你是怎样想的?”“能说出这个算式每一步的意义吗?”“如果算式改变,它又表示什么意思呢?”等。通过这样的问题引领,引导学生的思维层次更上一层楼。

    本题为综合应用,促使学生根据所学知识进行灵活应用,提高学生解决问题的能力,并在解决问题中加深对乘法交换律和结合律的理解和应用。学生在自主完成后,进行追问:“这个算式,你先算什么?再算什么?”“比较这几种方法的算会,你有什么发现?”“你觉得应用乘法交换律和结合律有什么优点?”等。并让学生想一想,在生活中你遇到过这样的问题吗?在这样的过程中,培养学生的“反思水平”。

5.运算定律思维导图

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