笔记百科最大公约数和最小公倍数是我们在小学学过的两个概念。
其中最大公约数(greatest common factor)指两个或多个整数共有约数中最大的一个。
两个或多个整数共有的倍数叫做它们的公倍数。
其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数(least common multiple)。
这两个概念在GRE数学考试中也会考到，他们的考法也比较单一：只考求值，你还记得怎么求吗？
举个栗子
求36, 156以及294的最大公约数和最小公倍数。
分析思路如下：
最大公约数
01
先把所有的数字分解质因数。
36 = 2^2 × 3^2
156 = 2^2 × 3 × 13
294 = 2 × 3 × 7^2
02
想要求最大公约数，则需要寻找每个数字的公共约数，即寻找每个数字都有的质因数。
03
上面这三个数字共有的质因数只有2和3，剩下的13和7只是其中一部分数字有，所以不予考虑。
而对于公共质因数2，294只有1个，36和156有2个，所以三个数字共同拥有的2就只有1个；
同理，三个数字共有的质因数3只有1个，所以最大公约数就是2×3=6。
04
所以要找寻最大公约数，只需要把所有公共质因数中指数最小的那个提出来相乘即可。
固定布局
工具条上设置固定宽高
背景可以设置被包含
可以完美对齐背景图和文字
以及制作自己的模板
最小公倍数
01
其次是最小公倍数的求法。既然是公倍数，说明是所有数字的公倍数，那就同样要是所有质因数的倍数。
02
比如这个题中，最小公倍数就必须得是2^2的倍数而不能仅仅是2的倍数，否则就不可能是36的倍数了；
03
同理，必须是3^2, 13 和7^2的倍数。所以最小公倍数=2^2 × 3^2 × 7^2 × 13。
04
所以要找寻最小公倍数，要把所有不同质因数中每个质因数指数最大的那个数字提出来相乘。
固定布局
工具条上设置固定宽高
背景可以设置被包含
可以完美对齐背景图和文字
以及制作自己的模板
逻辑看明白了， 来看看题吧~
The greatest common factor of 6 and the positive integer n is 3, and the least common multiple of 6 and n is 42.
What is the value of 6n?
A. 18
B. 21
C. 63
D. 126
E. 252
【解析思路】
6和n的最大公约数是3，6=2×3。说明n中并没有2，而且至少有一个3。
6和n的最小公倍数是42(2×3×7)，说明6和n两个数字所有的质因数就是2、3和7，而且每个质因数的最高指数就是1.
所以n中没有2，但是得有一个3（前面说至少有一个3，现在就可以确定有且只有一个3了），并且还得有一个7，所以n=3*7 = 21
6n = 6 * 21 = 126
所以答案选 D
从这个题也可以推出这样一个结论：
两个数字的乘积 =
这两个数字最大公约数 × 最小公倍数。
【注意这个结论只适合两个数字的情况哦！】
举一反三
最后思考一下这个问题，评论区来敲出你的答案吧
If a, b, and c are integers such that 0<a<b<c<2a, what is the greatest common factor of 84^a, 126^b, and 98^c?
A. (2a)(7a)
B. (2b)(7a)
C. (2b)(7c)
D. (2a) (3a) (7a)
E. (2b) (3b) (7a)
