笔记百科? ? 内积也称为数量积、点积，说法不同，意思是一样的。这里要纠正一下一些不恰当的说法，有人认为内积是比数量积范围更宽的一个概念，原因是内积可以针对抽象空间定义，例如函数空间，而数量积则针对欧氏空间，这种解释有想当然之嫌，数量积的称谓应该缘于这类“乘积”的结果，故“数量积”对应“向量积”。“点积”对应“叉积”，此称谓或许缘于乘法符号“·”与“X”、“内积”对应“外积”。
? ? 内积概念教学的难点在于其背景，物体产生位移时所作的功固然是一种解释，可数学上的内积从何而来呢？恐怕还是从解三角形的角度说明更合适一些。教材似乎是将余弦定理作为向量内积的应用来讲的，我觉得貌似有些本末倒置了。内积在余弦定理中发挥的作用非常有限，实际上具体到计算，只能回归到三角形的边长与夹角，用内积表示并没有带来实质性的帮助。或许有人会说，如果将向量用坐标表示不就有价值了吗？否则还需要计算角度再计算角的余弦，那多麻烦？那是内积的功劳吗？没有内积一样可以用坐标解三角形。即便把它归功于内积，前面又如何解释为什么如此这般定义内积？事实上，高维空间中通常是先有向量的内积概念再有向量的夹角概念。而一般向量的内积概念有两种方式定义，一种是公理化的方法，另一种是构造性方法。例如欧氏空间便是取向量对应坐标分量乘积之和。为了读懂更一般的内积空间理论，内积定义的前因后果应该梳理清楚，三角形的余弦定理恰好是建立内积概念比较合适的媒介。
? ?具体地说，当把两个向量（不妨假设不共线）a、b的始点置于一处（如坐标原点）时，这两个向量便决定了一个三角形。记a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2),不妨假设向量的夹角是锐角（钝角情形适当修改一下证明即可），从a的终点处引b的垂线得到两个直角三角形，两次利用勾股定理便可得到余弦定理。将余弦定理的公式用a与b的坐标表示，消去平方项便得到向量夹角余弦值的坐标表示，从这个表示式中将会发现一个尚未定义的因子：x_1?x_2+y_1?y_2,这就是数量积，也叫内积。这个定义很好地解释了为什么n维欧氏空间中用类似方法定义内积，也很好地解释了为什么在抽象内积空间中把内积为0的两个向量称为垂直，内积与向量“长度”之积相等或相反称为平行。
? ? ?说到向量内积的意义，仅限于平面是远远不够的，在平面情形，通常是先有向量的长度与夹角再有内积，而在一般向量空间中，通常是先有内积后有长度及角度概念。对于一般的向量空间而言，向量的“长度”未必能诱导出“内积”概念（“长度”需满足平行四边形法则），而如果有了“内积”，向量的“长度”以及不同向量的位置关系（垂直、平行等）都可以由内积诱导出来，可见内积对一般向量空间有多么重要。有了内积，空间几何就变得容易了，如果空间具有完备性或将其完备化，便可以建立直角坐标系。如同有限维空间，几何可以代数化。傅立叶级数的收敛性这一迄今悬而未决的问题正是基于三角函数的正交性才使得它在内积空间中变得平凡。
? ? 因正在设计内积概念课案例，故而探讨一番。
